Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра електронних обчислювальних машин Звіт про виконання лабораторної роботи № 3 з курсу „ Обробка сигналів ” Тема: Перевірка систем функцій на ортогональність і нормованість Виконав: ст. гр. КІ-4 Львів – 2006 Мета роботи: Дослідити систему функцій на ортогональність. Зробити висновок про можливість нормування. Завдання А1 та А2 – довільні додатні константи, при чому А1≠А2≠1. Порядок виконання роботи Дослідити задані функції на ортонормованість в аналітичному виді (1),(2). За допомогою системи MATLAB утворити дискретні послідовності Ф1 та Ф2, на заданому інтервалі дослідження (крок дискретизації становить pi/8). Вивести їх на спільному графіку. Користуючись засобами системи MATLAB перевірити умови ортогональності для системи дискретних функцій за формулами (2) та (3). Нормувати систему функцій за формулою (5) (у випадку, якщо вона не є нормованою). Вивести на спільному графіку систему отонормованих функцій. Порівняти отримані результати з аналітичними обрахунками. Теоретичні відомості Одним з можливих шляхів аналізу складного сигналу є подання його через контрольовану суму елементарних сигналів. Одним з найпотужніших апаратів для такого подання є системи ортогональних функцій. При введені систем ортогональних функцій виходять з того, щоб кожна функція системи була елементарним сигналом, і щоб складні сигнали можна було подати через цю суму якомога “компактніше” – зручніше. Аналоговий випадок. Розглянемо систему фукцій, EMBED Equation.3
. Задану на інтервалі EMBED Equation.3
 , EMBED Equation.3
 - номер функції в системі. Система цих функцій називається ортогональною, якщо виконуються наступні умови: EMBED Equation.3
 (1) для будь-яких EMBED Equation.3
 при умові, що EMBED Equation.3
 (тут * - символ комплексного спряження). EMBED Equation.3
 (2) Якщо EMBED Equation.3
 , то система називається ортонормованою. Тривіальним прикладом ортонормованої системи функцій є система декартових координат : кожна функція відображає свій напрям, а всі напрями – взаємоперпендикулярні. Дискретний випадок. Розглянемо суму дискретних функцій EMBED Equation.3
 , EMBED Equation.3
, де EMBED Equation.3
 - номер функції. Система називається ортогональною, якщо : EMBED Equation.3
 , коли EMBED Equation.3
. (3) EMBED Equation.3
 (4) Якщо EMBED Equation.3
 - то система ортонормована. Очевидним є твердження, що будь-яку ортогональну систему можна нормувати, розглянувши систему, виду: EMBED Equation.3
. Текст програми Графік системи функцій
Результати аналітичного дослідження Результати, отримані за допомогою системи MATLAB Константи А1 та А2 прийняті такими: А1=5; А2=3. w = 1.1141e-012 s1 = 8.8623 s2 = 5.3187 w_new = -2.8982e-014 s1_new = 1.0000 s2_new = 1.0000 Оскільки EMBED Equation.3
, а EMBED Equation.3
 EMBED Equation.3
 EMBED Equation.3
, то можна стверджувати, що в дискретному випадку, за формулами (3) і (4), відповідно до яких написана програма, знайдені коефіцієнти співпадають з аналітичним розрахунком з достатньою точністю. При чому, значення s1 і s2 будуть наближатися до EMBED Equation.3
 і EMBED Equation.3
 відповідно, якщо зменшувати крок дискретизації. Графік нормованої системи функцій
Висновки: виконуючи дану лабораторну роботу я досліджував систему функцій на ортогональність і пронормував систему аналітичним способом та за допомогою системи MATLAB.